Fundamentos de álgebra
Este capítulo presenta la transformación de ecuaciones e inecuaciones, los conceptos centrales de funciones, las operaciones con exponentes y logaritmos, y el símbolo de sumatorio Σ con la convergencia de series.
El contenido de este capítulo es la base matemática común de sigmoid, softmax, la entropía cruzada y la entropía de la información. Cada punto de conocimiento incluye una demostración gráfica interactiva; arrastrar el control deslizante genera más intuición que ver la fórmula diez veces.
Resolución y transformación de ecuaciones e inecuaciones
La transformación algebraica depende de una sola frase.
Si se realiza la misma operación en ambos lados de una igualdad, la igualdad se mantiene.
Mientras sumes, restes, multipliques, dividas (con divisor distinto de cero) o hagas raíces (prestando atención al signo) en ambos lados de la ecuación de manera "imparcial", las soluciones de la ecuación no cambiarán.
Ecuación lineal de una variable
La forma más básica es。
resolverlos pasos completos son:
3x + 5 = 20 3x = 20 - 5 ← 两边同减 5（移项） 3x = 15 x = 15 / 3 ← 两边同除以 3 x = 5
Solo hay dos acciones clave:Transponer términos(en esencia, restar en ambos lados) ydividir ambos lados。
Ecuación cuadrática de una variable y el discriminante
tiene la forma, dos métodos comunes de resolución.
Método 1: factorización。
x² - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 → x = 2 o x = 3
Método 2: fórmula general, es aplicable a todos los casos pero requiere más cálculo:
dondellamarel discriminante, se denota como, determina directamente el número de raíces:
| Discriminante | Tipo de raíces | Significado geométrico (parábola y eje x) |
|---|---|---|
| Dos raíces reales distintas | La parábola interseca el eje x en dos puntos | |
| Una raíz doble | La parábola toca el eje x exactamente (tangente) | |
| No hay raíces reales | La parábola queda completamente por encima o por debajo del eje x |
A continuación, arrastra el control deslizante para cambiar, y observa cómo se relacionan la forma de la parábola y el discriminante.
resolverProceso de sustitución en la fórmula general:
a=1, b=-2, c=-3 Δ = (-2)² - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 x = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2 → x = 3 o x = -1
Ecuaciones fraccionarias: la comprobación final es obligatoria
Primero se combinan fracciones o se eliminan denominadores, y se resuelve transformándola en una ecuación ordinaria.
Al final, es obligatorio sustituir la solución en la ecuación original para verificar que ningún denominador sea 0.
Las soluciones que hacen que un denominador sea 0 deben descartarse; se denominanraíces extrañas。
Inecuaciones: la regla donde más se suele fallar
Las reglas de transformación de las inecuaciones son similares a las de las ecuaciones, pero hay una diferencia clave.
Al multiplicar (o dividir) ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad debe invertirse.
resolver：
-2x > -6 ← 两边同减 6 x < 3 ← 两边同除以 -2（负数，不等号从 > 变成 <）
Esta regla es muy importante en el aprendizaje automático: al deducir la dirección de convergencia de un algoritmo de optimización o las condiciones de descenso de la función de pérdida, si se maneja mal el signo, la conclusión queda completamente invertida.
Sistema de inecuacionesEl conjunto solución de un sistema de inecuaciones es laintersección：
x > 1 x < 5 → 解集为 1 < x < 5
Técnicas comunes de transformación
| Técnica | Procedimiento | Uso típico |
|---|---|---|
| Transponer términos | Mover un término al otro lado del signo igual, cambiando su signo | Acción básica para resolver toda ecuación |
| Completar el cuadrado | Encontrar el vértice de una función cuadrática; simplificar la deducción de funciones de pérdida | |
| Sustitución | Reemplazar una subexpresión compleja que aparece repetidamente por una nueva variable | Simplificar expresiones con estructura compleja |
Ejemplos
import math
def solve_quadratic(a, b, c):
"""Resolver ax^2 + bx + c = 0, devolver todas las raíces reales"""
delta = b * b - 4 * a * c # El discriminante Δ = b² - 4ac
if delta > 0: # Δ > 0: dos raíces reales distintas
r = math.sqrt(delta)
return [(-b + r) / (2 * a), (-b - r) / (2 * a)]
elif delta == 0: # Δ = 0: una raíz doble
return [-b / (2 * a)]
else: # Δ < 0: no hay raíces reales
return []
# Verifica x² - 2x - 3 = 0; el resultado calculado a mano anteriormente es x = 3 o x = -1
print(solve_quadratic(1, -2, -3))
# Caso Δ = 0: x² - 4x + 4 = 0, es decir, (x-2)² = 0
print(solve_quadratic(1, -4, 4))
# Caso Δ < 0: x² + x + 1 = 0
print(solve_quadratic(1, 1, 1))
Al ejecutar el código anterior, la salida es:
[3.0, -1.0] [2.0] []
Ejercicio: resuelve la inecuación。
Haz clic para ver la respuesta
Resta 9 en ambos lados:; divide ambos lados entre -3 (negativo, se invierte la desigualdad):。
Concepto de función: dominio, rango, función compuesta
Funcióndescribe una regla de correspondencia de "entrada a salida":Para cada entrada x, existe una y solo una salida y correspondiente。
Se escribe, se lee "y es función de x".
Dominio: el conjunto de todas las "entradas válidas"
Determinar el dominio consiste, en esencia, en excluir los valores que hacen que la expresión "no tenga sentido":
| Característica de la expresión | Restricción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Denominador | no puede ser 0 | |
| Raíz de índice par | El radicando no puede ser negativo | |
| Logaritmo | El argumento debe ser mayor que 0 |
La regla del logaritmo es especialmente importante en IA: siempre que se use log (por ejemplo, en la pérdida de entropía cruzada), hay que asegurarse de que la entrada sea positiva. Por eso muchas implementaciones en código escriben—añaden una constante muy pequeña ε para evitarerrores o la generación de infinito.
Rango: el conjunto de todas las "salidas posibles"
El rango es, porque el cuadrado siempre es no negativo.
La función sigmoidetiene como rango el intervalo abierto, nunca es igual a 0 o 1, solo se acerca infinitamente.
Esta es la razón matemática por la que se usa para representar "probabilidades": en teoría, una probabilidad puede acercarse infinitamente a 0% o 100%, pero no igualarlos.
Función compuesta: una función dentro de otra
Tomar la salida de una función como entrada de otra se escribe。
El orden de cálculo esprimero se calcula la g(x) interna y luego se sustituye el resultado en la f externa。
Sea，, al calcular：
f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)²
normalmente no es igual a, el orden no se puede cambiar arbitrariamente.
Por qué la función compuesta es importante para la IA: una red neuronal es, en esencia, la composición de muchas capas de funciones.
Una red de dos capas puede escribirse como, dondees la primera capa (transformación lineal + función de activación),es la segunda capa.
El algoritmo de retropropagación puede calcular gradientes "capa por capa" gracias precisamente a laregla de la cadena(se desarrollará en detalle en el curso posterior de cálculo).
Ejemplos
def f(x):
return x ** 2 # Función externa f(x) = x²
def g(x):
return x + 1 # Función interna g(x) = x + 1
# f(g(x)): primero calcula g(3) = 4, luego sustituye en f y se obtiene 16
print(f(g(3)))
# g(f(x)): primero calcula f(3) = 9, luego sustituye en g y se obtiene 10
# No son iguales, lo que demuestra que el orden de composición no se puede intercambiar
print(g(f(3)))
Al ejecutar el código anterior, la salida es:
16 10
Ejercicio: supón que，, calculay, y compara si son iguales.
Haz clic para ver la respuesta
Los dos son diferentes, lo que indica que el orden de las funciones compuestas no se puede intercambiar.
Operaciones con exponentes y logaritmos
Una frase para entender la división de funciones de estas dos:La función exponencial se encarga de "ampliar/comprimir el rango de valores", y la función logarítmica se encarga de "convertir multiplicaciones y divisiones en sumas y restas, y comprimir un rango amplio de valores a un rango manejable".。
Aparecen repetidamente en el diseño de funciones de pérdida y funciones de activación en IA.
| Escenarios de IA | Fórmula | Propiedades utilizadas |
|---|---|---|
| función sigmoid | A medida que x aumenta, tiende a 0, comprime cualquier número real en (0,1) | |
| función softmax | El exponente amplifica las diferencias y luego normaliza en una distribución de probabilidad | |
| Pérdida de entropía cruzada | El logaritmo convierte la "multiplicación de probabilidades" en "suma de valores", evitando el subdesbordamiento (underflow) | |
| Entropía de la información | log hace que la entropía tenga la propiedad aditiva |
Reglas de cálculo que debes dominar
Reglas de operaciones con exponentes:
Reglas de operaciones con logaritmos, que se corresponden una a una con las reglas de exponentes:
Fórmula de cambio de base, convierte un logaritmo de cualquier base en logaritmo natural:
Exponencial y logaritmo son imágenes especulares
Función exponencialy la función logarítmicason funciones inversas entre sí, la gráfica respecto a la rectaes simétrica.
Arrastra el control deslizante para cambiar la base a y observa cómo se relacionan las dos curvas.
Ejercicio de deducción: por qué la entropía cruzada usa log
Supongamos que la etiqueta real es "gato" (probabilidad 1), la probabilidad predicha por el modelo de que sea "gato" es。
Si no se usa log, usando directamentecomo pérdida, cuando p cae de 0.5 a 0.1, la pérdida solo crece "linealmente", la penalización no es suficiente.
usar: cuando(el modelo está extremadamente seguro pero se equivoca),, se aplica un castigo extremadamente severo; cuando(el juicio es correcto),, casi no hay castigo.
Esta es la aplicación directa de la forma de la función logarítmica "empinada cerca de 0, plana cerca de 1" en el diseño de funciones de pérdida. El capítulo 2 mostrará esta curva con una imagen interactiva.
Ejemplos
import math
m, n = 8, 4
# Lado izquierdo: calcula directamente log₂(8×4)
left = math.log(m * n, 2)
# Lado derecho: log₂(8) + log₂(4)
right = math.log(m, 2) + math.log(n, 2)
print(left) # log₂32 = 5
print(right) # 3 + 2 = 5, ambos son iguales, la regla se cumple
print(abs(left - right) < 1e-12)
Al ejecutar el código anterior, el resultado es:
5.0 5.0 True
Ejercicio: Calcula, y usa las reglas de logaritmos para simplificarlo a un solo logaritmo.
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Sucesiones y series: entender Σ y la convergencia
Una sucesión es una secuencia de números ordenados, denotada como, abreviada como。
Los dos tipos más básicos de sucesiones:
| Tipo | Característica | Ejemplo | Fórmula del término general |
|---|---|---|---|
| Progresión aritmética | La diferencia entre dos términos consecutivos es constante (diferencia común d) | 2, 5, 8, 11, ...（d=3） | |
| Progresión geométrica | La razón entre dos términos consecutivos es constante (razón común r) | 2, 4, 8, 16, ...（r=2） |
¿Qué calcula realmente el símbolo de sumatorio Σ?
Significa: deja que el subíndice i vaya de 1 a n, y cadase calcula, y luego se suman todos.
Método de tres pasos para leer la fórmula Σ: primero mirala variable de sumacuál es (el subíndice), luego mirael rango de suma(de dónde a dónde), finalmente miracómo es cada término.。
En las fórmulas de IA casi siempre se ve Σ, por ejemplo en la pérdida de error cuadrático medio, y en la suma ponderada de una neurona.。
Dos fórmulas de suma: progresión aritmética, progresión geométrica (）。
Series y convergencia
Una serie es la suma de los "infinitos términos" de una sucesión, es decir。
Si sumamos infinitos números, ¿el resultado será infinito? Este es el problema de convergencia y divergencia:
Si a medida que aumenta el número de términos, la suma acumulada se aproxima a unvalor finito determinado, la serie es convergente; si la suma crece cada vez más o no tiene tendencia fija, la serie es divergente.
El ejemplo más clásico es la serie geométrica：
Cuandocuando ..., converge, y su suma es; cuando... diverge.
Haz clic en el botón "Reproducir" y observa cómo las sumas parciales se aproximan paso a paso al valor límite.
Por qué la convergencia es importante para la IA
Al entrenar redes neuronales, cada paso de actualización en el descenso de gradiente puede considerarse una sucesión; si la actualización de pesos puede "converger" a un valor estable, la lógica de juicio se relaciona con la intuición de la convergencia de series.
Algunos algoritmos de optimización (como el término de momento en Adam) esencialmente realizanuna suma ponderada con decaimiento exponencial, cuya forma matemática es una serie geométrica con razón menor que 1.
En redes neuronales recurrentes (RNN), si un factor multiplicativo se multiplica repetidamente y su valor absoluto es menor que 1, se produce "desaparición del gradiente" (correspondiente a una serie que converge a 0); si es mayor que 1, se produce "explosión del gradiente" (correspondiente a una serie divergente). Este es un problema clásico del aprendizaje profundo, cuya raíz es precisamente la intuición de las progresiones geométricas.
Ejemplos
# Límite teórico: 1 / (1 - 0.5) = 2
r = 0.5
limit = 1 / (1 - r) # Valor límite teórico 2
s = 0 # Suma parcial, acumulando desde 0
for i in range(6): # Acumulación término a término: 1 + 0.5 + 0.25 + ...
s += r ** i
print(i + 1, s) # Imprime el número de términos y la suma parcial actual
print(limit) # Límite teórico, la suma parcial se acerca cada vez más a él
Al ejecutar el código anterior, el resultado es:
1 1.0 2 1.5 3 1.75 4 1.875 5 1.9375 6 1.96875 2.0
Se puede ver que con cada término añadido, la distancia de la suma parcial al límite se reduce a la mitad: este es el ritmo de convergencia de una serie geométrica con razón 0.5.
Ejercicio: Determina si la seriees convergente; si converge, halla su suma.
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Razón común, cumple, es convergente.
Resumen del capítulo
| Tema | Idea central en una frase |
|---|---|
| Ecuaciones e inecuaciones | Realiza la misma operación en ambos lados; al multiplicar/dividir por un número negativo, se invierte el signo de la desigualdad. |
| Concepto de función | El dominio es "qué se puede ingresar", el rango es "qué se puede generar"; una función compuesta es "función dentro de función". |
| Exponentes y logaritmos | Los exponentes amplifican/comprimen valores, los logaritmos convierten multiplicación/división en suma/resta: herramienta central de las funciones de pérdida en IA. |
| Sucesiones y series | Σ es "sumar según reglas"; la convergencia o no de una serie determina si el entrenamiento del modelo es estable. |